الدرس الرابع: التمثيل المصفوفي للمعادلات التفاضلية (State Space Representation)


(هاني الشطرات) #1

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على أشرف الخلق والمرسلين، نبينا محمد، وعلى آله وصحبه الطيبين الطاهرين، أما بعد:

هذا هو الدرس الرابع من هذه السلسلة المباركة -إن شاء الله تعالى-، وسنتطرق في هذا الدرس إلى موضوع مهم جداً من المواضيع الأساسية في مادة التحكم وهو ما يسمى (State Space Representation)، وهو شكل آخر من أشكال المعادلات التفاضلية.

التمثيل المصفوفي للمعادلات التفاضلية (State Space Representation)

عند كتابة النموذج الرياضي (Mathematical Model) للنظام الفيزيائي، يبتدأ الشخص عادة بكتابة المعادلات التفاضلية. ولكن من الأفضل أن يعيد الشخص كتابة هذه المعادلات كدرجة أولى من المعادلات التفاضلية للأنظمة المختلفة، من حيث الحسابات ومن حيث عمل (Simulation). وسنسمي هذا التمثيل للمعادلات التفاضلية بالتمثيل المصفوفي (State Space Representation).

وحل هذا النوع من التمثيل للأنظمة يكون عبارة عن متجه (Vector)، ويعتمد هذا المتجه على الزمن، ويحتوي معلومات كافية للحصول بشكل كامل على مسير وكيفية عمل (Trajectory) هذا النظام الميكانيكي.
هذا المتجه يعود على حالة النظام (State)، ومكونات هذا المتجه تدعى عادة (State Variables). لتوضيح هذه المفاهيم، سنطبق المثال التالي:

مثال: Spring-mass-damper system
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295725177.jpg

هذا هو نفس المثال الذي تمت مناقشته في الدرس الثاني، وقد قمنا باشتقاق المعادلة التفاضلية لهذا النظام. والمعادلة (انظر معادلة رقم2 في الدرس الثاني) هي:

http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295725371.jpg

لنعتبر أن المدخل لهذا النظام هو (f) والمُخْرَجْ (x). في هذا الحالة، لدينا معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، وهذا يعني أننا نحتاج إلى حالتين ابتدائيتين (initial conditions) لحل هذه المعادلة بشكل فريد (الحل الوحيد).
على سبيل المثال، تحديد قيم x(t0) وتحديد قيم dx/dt(t0) سيسمح بحل المعادلة x(t) للزمن t<t0.
لذلك نحتاج إلى متغيرين (State Variables) لوصف هذا النظام. وسنسمي (State Variables) ب xi، حيث i=1,2 ونقوم بعمل تحديد لهما.
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295726101.jpg

سنقوم الآن بإعادة كتابة المعادلة التفاضلية في الأعلى بشكل مرتبط في (State Variable)، وسينتج لدينا ما يلي:
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295726291.jpg

والآن نستطيع أن نستعمل المصفوفات لكتابة التمثيل المصفوفي للمعادلات التفاضلية (State Space Representation):
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295726405.jpg

من المثال السابق، (State Vector) سيأخذ هذا الشكل:
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295726520.jpg


(هاني الشطرات) #2

مثال2: (2 mass) ضاغط- مثبط
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295725177.jpg

هذا المثال تم شرحه في الدرس السابق، وتم اشتقاق المعادلات التفاضلية له (انظر معادلة 2 و معادلة 3 في الدرس السابق):
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295727020.jpg

لنعتبر أن المُدْخَل إلى هذا النظام هو (f) والمخرج له هو (z). في هذا الحالة، لدينا معادلتان تفاضليتان، لذلك نحتاج إلى 4 (Initial conditions) لحل هذا النظام. فإذا قمنا بتحديد قيم w(t0), dw/dt(t0), z(t0), dz/dt(t0)، سنقوم بإيجاد الحلول لكل من w(t) and z(t) for t>t0.

لذلك سنحتاج إلى 4 (State Variables) لوصف هذا النظام. وسنقوم بتسمية هذه المتغيرات xi حيث i= 1,2,3,4، وسنقوم بتحديد كل منهم كما يلي:
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295727477.jpg

وسنقوم الآن بإعادة كتابة المعادلتين السابقتين بالنسبة (State Variables) للحصول على (State Space Representation):
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295727784.jpg

نستطيع الآن استعمال المصفوفات لإعادة كتابة المعادلات السابقة باستعمال (State Space Representation):
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295727590.jpg

لذلك، (State Vector) سيأخذ هذا الشكل:
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295727901.jpg

وبشكل عام، فإن هذا التمثيل يأخذ هذا الشكل:
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295728470.jpg

إذا كان عدد (State) هو n، عدد المدخلات هو p، ةعدد المخرجات هو q، إذن A هي عبارة عن مصفوفة مربعة (nn)، وB هي مفوفة (np)، و C هي مصفوفة (qn)، وأخيراً D هي مصفوفة (qp).

اخيراً، الأمثلة السابقة جاءت توضح كيفية عمل الوصف الرياضي باستخدام (State Space Representation) من الوصف الفيزيائي:
http://www.almohandes.org/uploads/vb/uploaded4/255204_01295728847.jpg

هذا وأسأل الله الفائدة لي ولكم

ولا تنسوني من دعائكم، وجزاكم الله خيراً

والسلام عليكم ورحمة الله


#3

جزاك الله خيرا مهندس هانى على هذا المجهود العظيم واحب اضيف ايضا للموضوع Block diagram الخاص بمعادلات ال state space

ونلاحظ ان المصفوفة B تحتوى على المدخلات
اما المصفوفة C فهى تحتوى على المخرجات
والمصفوفة D هى الخاصة بى feedforward وحيث ان اغلب الانظمة الهندسية تكون بها المخرجات نتيجة تأثير المدخلات ولذك فاننا نضع دائما هذه المصفوفة تساوى صفر كما فى الامثلة السابقة


(con_eng) #4

بارك الله فيكم وجزاكم من فضله خيرا


(هاني الشطرات) #5

جزاكما الله خيراً، وبارك الله فيكما، وشكراً جزيلاً على المرور الجميل
وأشكرك أستاذ أحمد على هذه الملاحظة المهمة، وأشكرك على دعم الموضوع

#6

تم اضافة الدرس بصورة PDF بالمرفقات من خلال المشاركة الثانية


(system) #7

merciiiiiiiiiiiii


(هاني الشطرات) #8

حياكم الله، وجزاكم الله خيراً على المرور

(system) #9

مررررررررة شكرا


(هاني الشطرات) #10

حياكم الله أخي الكريم،
وجزاكم الله خيراً على المرور

(عبد الرحمن أبو حسين) #12

جزاكم الله خيراً، وبارك الله فيكم
شرح رائع وجميل

(mohamad1993) #13

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
جزاكم الله خيرا على الموضوع المفيد و كنت فى حاجه لمعرفه كل ما هو متعلق بموضع الكنترول
فكيف أصل لكل ما تم نشره فى هذا الموضوع؟


#14

الدروس موجودة هنا
دروس فى التحكم والنمذجة للمهندس هانى الشطرات


(system) #15

جزاك الله خير وبارك الله فيك


(system) #16

بسم الله الرحمن الرحيم
ابداع متلاحق


(system) #17

مشككككككككككككككوووووووووووووررررررررررجدا جدا


(system) #18

شكرا بس عايزة امثله اكتر ياريت


(salama mohammed) #19

بارك الله فيكم وفي مجهوداتكم