الدرس السابع: حل الأنظمة الخطية (Solution Of Linear Systems)


(هاني الشطرات) #1

بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على أشرف الخلق والمرسلين، نبينا محمد الصادق الصدوق الأمين، وعلى آله وصحبه أجمعين، ومن تبعهم بإحسان إلى يوم الدين، أما بعد:

هذا هو الدرس السابع من هذه السلسلة المباركة -إن شاء الله تعالى-، وسنتطرق فيه إلى موضوع مهم من مواضيع التحكم -أيضاً-، وهو حل المعادلات الخطية.

وكنّا قد تكلمنا -في الدرس السابق- عن كيفية حل المعادلات التفاضلية باستعمال تحويلات لابلاس، وهذه طريقة -أخرى- جديدة لحل الأنظمة الخطية والتي وجدت بصيغة التمثيل المصفوفي (State Space Representation).

حَلُّ الأنظمة الخطية

(Solution Of Linear Systems)

]سنقوم في هذا الدرس بدراسة بعض الطرق لحلّ المعادلات التفاضلية الخطية. وبالتحديد سنقوم بالتركيز على تلك المعادلات التفاضلية التي نشأت من تشكيل الأنظمة الميكانيكية الخطية مثل نظام (كتلة-نابض). فعلى سبيل المثال، لدينا هذه المعادلة التفاضلية التالية:

لحل هذه المعادلة، نحتاج إلى معرفة الظروف الابتدائية (Initial Condition) لهذه المعادلة:

لنبدأ بكتابة صيغة المصفوفات (State Space Form) لهذه المعادلة. نعرف متغيرات الحالة (State Variable):

فيصبح لدينا ما يلي:

مع الظروف الابتدائية (Initial Condition):

في التمثيل المصفوفي يصبح لدينا:

والشكل العام لهذا التمثيل هو:

حيث:


(هاني الشطرات) #2

وقبل البدء في إكمال حل هذه الحالة العامة، سنتطرق إلى حل حالة بسيطة. ولنفترض أن x(t) and u(t) are scalars
وهذا يعني أن القيم عبارة عن كميات قياسية (غير متجهة). وهذا يعطينا أن A=a، و B=b أيضاً كميات غير متجهة. ولنعتبر أن المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى على هذا الشكل:

ثم نقوم بنقل (ax) إلى الطرف الأيسر، كما يلي

ثم نقوم بضرب الطرفين ب

كما يلي:

ثم نقوم بعمل التكامل للطرفين بالنسبة للزمن (t):

والمعادلة الأخيرة هذه تعرف باسم الصيغة القياسية للقيم المتغيرة scalar form of the variation of parameters formula
وتتكون من:

ولنأخذ هذا المثال؛ لتتوضح الأمور بشكل أفضل.

مثال: احسب حل المعادلة التالية المحددة بحالة القيم القياسية (غير متجهة) فيما يلي:

حيث أن المدخل (Input) هو:

الحل: باستعمال معادلة الصيغة القياسية للقيم المتغيرة


(هاني الشطرات) #3

سنكمل اليوم الدرس الثامن -إن شاء الله تعالى- من هذه الدورة.
فنرجو من الأخوة التفاعل، وأن يفيدونا وأن يستفيدوا من هذه الدروس

(عبد الرحمن أبو حسين) #4

جزاكم الله خيراً، وبارك الله فيكم
جهد رائع وجميل


(هاني الشطرات) #5

حياكم الله أخي الكريم،
وجزاكم الله خيراً على مروركم الطيب، وأهلاً بك معنا في المنتدى

(فوتون) #6

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيك وفى جهودك مشرفنا العزيز

اقترح الاتى حتى يتم الاستفادة القصوى من هذة الدروس القيمة

اولا :وضعها فى صورة ملف pdf حتى يسهل الاحتفاظ بها

ثانيا :وضع روابط الدروس فى موضوع واحد حتى يسهل عملية المتابعة

ثالثا : ان امكن وضع مصدر الدروس حتى يمكن الرجوع اليه

بارك الله فيك وزادك من العلم

مع خالص تحياتى


(سامي4) #7

السلام عليكم ورحمة الله
هل تم إيقاف هذه الدروس الرائعة ؟
أم تم تأجيلها ؟ أرجو استكمال هذا المشروع القيم لحد بعيد جداً والمفيد جدا جدا
وجزاكم الله خيراً


(هاني الشطرات) #8

لا لم يتم أخي الكريم،
ولكن تم تأجيلها لظروف طارئة مدة من الزمن، وفي الجعبة الكثير -إن شاء الله تعالى- من مواضيع التحكم الجميلة، والرائعة.
ادع لنا بالتوفيق، والسداد، والرشاد…
وجزاكم الله خيراً، وبارك الله فيكم على مروكم الطيب


(سامي4) #9

ما شاء الله عليك يا أخي وبارك الله فيك
أسأل الله لك مزيداً من التوفيق والسداد .

(system) #10

اخى الكريم ندعوا لك جميعا" بالتوفيق، والسداد، والرشاد…
وجزاكم الله خيراً، وبارك الله فيكم
و نرجوا منك عمل نسخة PDF لكل درس كما عودتنا

(mohamad1993) #11

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
جزاكم الله خيرا على هذه السلسله الرائعه و نرجوا من الله ان ييسر لكم تكملتها
لما فيها من اهميه
هل من الممكن رفع الدروس الموجود بصيغة ال pdf
و اخبارنا متى سيتم استكمال السلسه ؟
جزاكم الله خيرا و جعله فى ميزان حسناتكم


(الدره المصون) #12

جزاك الله جنة عرضها السماوات والارض
بارك الله في كل من تعلم العلم وعلمه.: