بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على أشرف الخلق والمرسلين، نبينا محمد الصادق الصدوق الأمين، وعلى آله وصحبه أجمعين، ومن تبعهم بإحسان إلى يوم الدين، أما بعد:
هذا هو الدرس السادس من هذه السلسلة المباركة -إن شاء الله تعالى-، وسنتطرق فيه -بإذن الله- إلى تحويل لابلاس العكسي (Inverse Laplace Transform)، وهو من الدروس المهمة، التي يمكن من خلالها حل المعادلة التفاضلية -التي تصف النظام-، ويكون الحل الناتج للدالة بصيغة الزمن (t domain).
تحويلات لابلاس العكسية Inverse Laplace Transforms
سنقوم في هذا الدرس بمناقشة كيفية حساب تحويل لابلاس العكسي. إن أسهل طريقة لعكس تحويل لابلاس هو تحويل الإقتران المراد عكسه إلى مجموع من الإقترانات والتي هي عبارة عن مجموعة من تحويلات لابلاس المحسوبة مسبقاً، وباستعمال خاصية الخطية (Linearity) لتحويلات لابلاس، يمكننا عكس الإقتران بشكل مباشر وسيكون الناتج من ذلك هو إقترانات بدلالة الزمن (t Domain)، ويكون الإقتران الأخير الناتج هو حل للمعادلة التفاضلية.
وهناك العديد من الجداول المفيدة التي يمكن استعمالها لتحويل لابلاس، وإيجاد تحويل لابلاس العكسي، وبعض من هذه العلاقات الموجودة في هذا الجدول تم إيجادها في الدرس السابق، وهذا رابط يحتوي على جدول مفيد شامل، وأستعمله كثيراً في حلولي، فيمكنكم تحميل الجدول بصيغة (PDF) وطباعته واستعماله في حلول الأسئلة، وسأقوم بوضعه في المرفقات لسهولة الحصول عليه.
الرابط:
او Laplace_Transforms.pdf (127.5% u)
وسنعطي بعض الأمثلة، لتتضح الأمور بشكل أكبر -إن شاء الله تعالى-.
هذه معادلة تفاضلية -في الأسفل- تصف نظاماً معيناً، كما يلي:
حيث:
u: هو المدخل للنظام Input
x: هو المخرج للنظام (Output).
جد معادلة المخرجات (Output)، إذا كان المدخل (Input) هو
الحل: نأخذ لابلاس لطرفي المعادلة التفاضلية
في الأمثلة التالية، سنفترض أننا قمنا بعمل لابلاس لطرفي المعادلة التفاضلية، وسنقوم بإيجاد تحويل لابلاس العكسي للمعادلات.
مثال 2: جد لابلاس العكسي للدالة التالية
الحل:
باستعمال (Partial Fraction expansion)، وسنحصل على ما يلي
مثال 3: جد تحويل لابلاس العكسي، للدالة التالية
الحل:
باستعمال (Partial Fraction expansion)، وسنحصل على ما يلي:
مثال 4: احسب تحويل لابلاس العكسي للدالة التالية، مع الملاحظة هنا إلى أنّ جذور المقام تحتوي على أرقام حقيقية (Real) أو تخيلية (Complex).
إن جذور المقام للدالة السابقة هي:
s=-6, s= -6+ 4j, s=-3-4j
لذلك في البداية نعمل (partial fraction expansion) للدالة السابقة بدون تحليل معادلة كثير الحدود التربيعية والتي تحتوي على الجذور الخيالية (complex roots).
وفي هذا القدر كفاية
وجزاكم الله خيراً، وأتمنى للجميع الاستفادة والفائدة
ولا تنسوني من دعائكم
والسلام عليكم ورحمة الله