ما هي الميكانيكا التحليلية

الميكانيكا التحليلية أو الميكانيكا النظرية عبارة عن مجموعة من الصياغات البديلة وثيقة الصلة بالميكانيكا الكلاسيكية. تم تطويره من قبل العديد من العلماء الرياضيات خلال القرن الثامن عشر وما بعده، بعد ميكانيكا نيوتن. نظرًا لأن ميكانيكا نيوتن تعتبر الكميات المتجهية للحركة، لا سيما التسارع والعزم والقوى لمكونات النظام، فإن الاسم البديل للميكانيكا التي تحكمها قوانين نيوتن وقوانين أويلر هو الميكانيكا الاتجاهية.

على النقيض من ذلك، تستخدم الميكانيكا التحليلية الخصائص العددية للحركة التي تمثل النظام ككل - عادةً ما تكون طاقته الحركية الكلية وطاقته الكامنة - وليس قوى نيوتن الاتجاهية للجسيمات الفردية. الحجم هو كمية، في حين أن المتجه يتم تمثيله بالكمية والاتجاه. تُشتق معادلات الحركة من الكمية العددية من خلال بعض المبادئ الأساسية حول تباين العدد القياسي.

تستفيد الميكانيكا التحليلية من قيود النظام لحل المشكلات. تحد القيود من درجات الحرية التي يمكن أن يتمتع بها النظام، ويمكن استخدامها لتقليل عدد الإحداثيات اللازمة لحل الحركة. الشكلية مناسبة تمامًا للاختيارات التعسفية للإحداثيات، والمعروفة في السياق بالإحداثيات المعممة. يتم التعبير عن الطاقات الحركية والمحتملة للنظام باستخدام هذه الإحداثيات أو العزم المعممة، ويمكن إعداد معادلات الحركة بسهولة، وبالتالي تسمح الميكانيكا التحليلية بحل العديد من المشكلات الميكانيكية بكفاءة أكبر من الطرق الاتجاهية الكاملة. لا تعمل دائمًا مع القوى غير المحافظة أو القوى المبددة مثل الاحتكاك، وفي هذه الحالة قد يعود المرء إلى ميكانيكا نيوتن.

فرعان مهيمنان للميكانيكا التحليلية هما ميكانيكا لاغرانج (باستخدام الإحداثيات المعممة والسرعات المعممة المقابلة في فضاء التكوين) وميكانيكا هاملتونيان (باستخدام الإحداثيات والعزم المقابل في فضاء الطور). كلتا الصيغتين متساويتان من خلال تحويل ليجاندر على الإحداثيات والسرعات والعزم المعممة، وبالتالي يحتوي كلاهما على نفس المعلومات لوصف ديناميكيات النظام. هناك صيغ أخرى مثل نظرية هاملتون-جاكوبي، ميكانيكا روث، ومعادلة أبيل للحركة. يمكن اشتقاق جميع معادلات الحركة للجسيمات والمجالات، بأي شكل من الأشكال، من النتيجة القابلة للتطبيق على نطاق واسع والتي تسمى مبدأ الإجراء الأقل. إحدى النتائج هي نظرية نويثر، وهي عبارة تربط قوانين الحفظ بالتماثلات المرتبطة بها.

لا تقدم الميكانيكا التحليلية فيزياء جديدة وليست أكثر عمومية من ميكانيكا نيوتن. بل هي مجموعة من الشكليات المتكافئة التي لها تطبيق واسع. في الواقع، يمكن استخدام نفس المبادئ والشكليات في الميكانيكا النسبية والنسبية العامة، ومع بعض التعديلات، ميكانيكا الكم ونظرية المجال الكمومي.

تستخدم الميكانيكا التحليلية على نطاق واسع، من الفيزياء الأساسية إلى الرياضيات التطبيقية، ولا سيما نظرية الفوضى.

تنطبق طرق الميكانيكا التحليلية على الجسيمات المنفصلة، ولكل منها عدد محدود من درجات الحرية. يمكن تعديلها لوصف الحقول أو السوائل المستمرة، والتي لها درجات لا نهائية من الحرية. التعريفات والمعادلات لها تشابه وثيق مع تلك الخاصة بالميكانيكا.