بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على أشرف الخلق والمرسلين، نبينا محمد، وعلى آله وصحبه أجمعين، ثم أما بعد:
هذا هو الدرس الخامس من هذه السلسلة المباركة -إن شاء الله تعالى-، وسنتطرق في هذا الدرس إلى موضوع مهم من مواضيع التحكم، وهو (تحويلات لابلاس)، وهذه التحويلات مهمة جداً في دراسة أنظمة التحكم، ودراسة سلوك الأنظمة تحت ظروف معينة، وتساعد في عمليات (Simulation).
تحويلات لابلاس
(Laplace Transforms)
تحويلات لابلاس (Laplace Transforms) هي عبارة عن عمليات رياضية يتم من خلالها تحويل الإقترانات المكونة من متغير واحد وفي العادة يكون الزمن (t) إلى إقترانات في المتغيرات المعقدة (Complex Variable) أو ما يسمى في العادة (S domain).
وهذه التحويلات مهمة جداً في دراسة الأنظمة الخطية للعديد من الأسباب، ومن أهم هذه الأسباب هي أنه باستعمال تحويلات لابلاس (Laplace Transforms) يمكننا تحويل المعادلات التفاضلية الخطية إلى معادلات جبرية (Algebraic Equation)، ومن الأسباب أيضاً هو يمكننا أن نقدم أكثر من تمثيل (Representation) للنظام الخطي، وستكون هذه التمثيلات للأنظمة ستكون الأساسيات لتقنيات التحكم الكلاسيكية.
فإذا كان لدينا الاقتران في ( Time domain). الاقتران x(t) for t>0. فإذا أردنا تعريف تحويل لابلاس له، فعلينا تطبيق المعادلة التالية:
والسؤال -الآن-: ما هي الشروط التي يجب أن تتوافر في الإقتران المرتبط في الزمن لإيجاد لابلاس له؟
The Laplace transform exists for signals for which the above transformation integral converges.
على أية حال، هناك طريقة سهلة لفحص الظروف المناسبة لإيجاد تحويل لابلاس. الطريقة تقرر أن:
x(t) is piecewise continuous
|x(t) < Kexp (at) when t>0 for some positive real numbers K and a
بعد ذلك، تحويل لابلاس:
L(x(t))= X(S) exists for Re(s)>a
حيث أن Re(s) هي الجزء الحقيقي من S.
ولنأخذ هذه الأمثلة التالية لتتوضح الأمور بشكل أفضل.
مثال1: x(t)= Step Function
مثال 2: Exponential Function
سنقوم الآن بدراسة خصائص تحويلات لابلاس:
الخطية لتحويل لا بلاس ( الضرب في ثابت ، المجموع والفرق ) :-
Linearity of Laplace Transform
١- إن تحويل لا بلاس لحاصل ضرب ثابت© في دالة زمنيةX(t) ، هو ضرب الثابت © في تحويل لا بلاس للدالة (X(t .
٢- إن تحويل لا بلاس لمجموع دالتين زمنيتين ( أو الفرق بينهما ) هوحاصل جمع ( أو حاصل طرح ) تحويل لا بلاس للدالتين الزمنيتين .
إذا كان
، لأي c1 و c2:
البرهان:
- التفاضل ( الاشتقاق ) Laplace Transform of a derivative
إن تحويل لا بلاس المشتقة الأولى للدالة الزمنية x(t)هو حاصل ضرب(S) في تحويل لا بلاس للدالة x(t) مطروحاً منx(0) عندما تقتـــرب t من + 0 .
إذا كان
إذاً:
البرهان:
