بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله رب العالمين، والصلاة والسلام على أشرف الخلق والمرسلين، نبينا محمد وآله وصحبه أجمعين، ثم أما بعد:
هذا هو الدرس الثالث -إن شاء الله تعالى- في شرح مادة التحكم الآلي، وسيتم في هذا الدرس -بإذن الله تعالى- تكملة موضوع تصويغ الأنظمة، وكيفية كتابة المعادلات التفاضلية للأنظمة، وفي مرحلة متقدمة سنتعلم كيفية الاستفادة من هذه المعادلات في بناء (Controller) للنظام، وكيفية استغلال المعادلات التفاضلية لكتابة صيغ أخرى أسهل في التحكم.
وهذا اليوم سأقدم مجموعة من الأسئلة مع الصور حول هذا الموضوع، منها مثال ميكانيكي، مثال موائع ومثال يخص الكهرباء.
تصويغ الأنظمة (تكملة)
مثال: نظام موائع: التحكم في مستوى الماء
هذا النظام هو على خزان لتخزين المياه، ومساحة مقطعه العرضية هي A، وارتفاع الماء فيه هو h. المائع (الماء) يدخل إلى الخزان من الأعلى عن طريق ماسورة معينة، ويخرج من الخزان عن طريق حنفية في أسفل الخزان والتي مقاومتها المائعية هي R. معدل تدفق الحجم (Volume Flow Rate) الداخل والخارج من الخزان هو (qi) و (q0) بالترتيب. كثافة المائع § ثابتة. بالعودة إلى الصورة رقم 1، التي توضح هذا النظام، المطلوب: هو تنظيم ارتفاع الماء في الخزان. ونفترض هنا أن المتغير الذي نستطيع تغييره للتحكم بمستوى الماء هو (qi).
صورة رقم 1: Diagram of the fluid system components and signals
بداية، نقوم بتعريف المدخلات والمخرجات للنظام.
المدخل (Input): نسبة تدفق الحجم الداخلة (qi).
المخرج (Output): ارتفاع الماء، (h).
للحصول على المعادلة التفاضلية لهذا النظام، نستعمل قانون أو مبدأ حفظ الكتلة، والذي ينص على:
معدل تغير كتلة المائع داخل الخزان بالنسبة للزمن = معدل تدفق الكتلة الداخلة - معدل تدفق الكتلة الخارجة
the Time rate of change of fluid mass inside the tank = the mass flow rate in - mass flow rate out
حيث أن :
A: مساحة المقطع العرضية للخزان
g: تسارع الجاذبية
R: ممانعة المائع في الحنفية
إن المعادلة (1) هي معادلة تفاضلية تصف ديناميكية هذا النظام. مع ملاحظة أن المُدخلات والمُخْرجات تظهر في المعادلة. فإذا تمت معرفة (qi) عندها يمكننا حل المعادلة التفاضلية وإيجاد قيمة المخرجات لهذا النظام (h).
وهذا (Block) يصف هذا النظام كما في الصورة رقم 2.
صورة رقم 2: Block diagram representation of the fluid System
مثال 2: نظام ميكانيكي: 2 spring - damper- mass
هذا النظام يحتوي على كتلتين، نابض، وما يسمى بالمثبط (damper). انظر صورة رقم 3.
تؤثر القوة الخارجية على الكتلة الأولى ونريد في هذه الحالة التحكم بموقع الكتلة الثانية. والقوة الخارجية (f) تؤثر بشكل غير مباشر على حركة الكتلة الثانية.
Figure 3: (a) Diagram of the mechanical system components. (b) Free Body Diagram of the system
Click here to see an animation for the Analysis
في البداية، نقوم بتعريف المدخلات والمخرجات للنظام.
المدخل (Input) : القوة الخارجية (f).
المخرج (Output): الإزاحة للكتلة الثانية (z).
وبعد ذلك سنقوم بإيجاد مجموعة نت المعادلات التي تصف هذا النظام. وسنقوم بتطبيق قانون نيوتن لكل كتلة لنحصل على المعادلات التفاضلية التي تصف النظام .
يمكنكم ملاحظة كيف ترتبط ديناميكية النظام مع المدخل والمخرج. مع العلم أن المدخل هو (f) لهذا النظام و (z) هو المخرج لهذا النظام.
(Block Diagram) لتمثيل هذا النظام يظهر في صورة رقم 4.
صورة رقم 4: Block Diagram representation of the mechanical system
مثال 3: نظام كهربائي: دارة RLC ( تركيب موازي)
النظام في الأسفل هو دارة كهربائية مع مصدر تيار (i)، مقاومة ®، ملف (L)، ومواسعة ©، وكل هذه الأجزاء موصولة على التوازي.
والمطلوب هو تنظيم فولتية المواسعة (V).
Figure 5: RLC Circuit (Parallel Connection)
في البداية، نقوم بتعريف المدخلات والمخرجات.
المدخل (Input): التيار (i)
المخرج (Output): الفولتية (V)
بعد ذلك، سنقوم بكتابة المعادلات التفاضلية التي تصف هذا النظام. سنقوم بتطبيق قانون كيرتشوف للتيارات.
مجموع الثلاث تيارات (R, L, C) تساوي كل التيار الموجود في مصدر التيار (i).
سنقوم في المحاضرة القادمة كيفية كتابة التمثيل المصفوفي (State Space Representation) لهذا النظام والأنظمة السابقة -إن شاء الله تعالى-.
أرجو من الجميع الاستفادة من هذه المحاضرة، وجزاكم الله خيراً، وبارك الله فيكم
ولا تنسونا من صالح دعائكم
والسلام عليكم ورحمة الله